Matemáticas II · 2º de Bachillerato · Enfoque EBAU/EvAU
Una matriz es una tabla rectangular de números (o expresiones) organizada en filas y columnas.
\[ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Matriz fila | \(1\times n\) | \((2\ \ 5\ \ -1)\) |
| Matriz columna | \(m\times 1\) | \(\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}\) |
| Matriz cuadrada | \(n\times n\) | \(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) |
| Matriz nula \(O\) | Todos 0 | \(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\) |
| Diagonal | Solo diagonal principal puede no ser 0 | \(\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}\) |
| Identidad \(I_n\) | Diagonal = 1, resto 0 | \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) |
| Triangular sup/inf | Debajo o encima de la diagonal son 0 | \(\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\) |
| Simétrica | \(A^T=A\) | \(\begin{pmatrix}1&2\\2&0\end{pmatrix}\) |
Dos matrices \(A\) y \(B\) son iguales si:
Solo con matrices del mismo orden:
\[ (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \]Ejemplo
\[ A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&5\\-1&2\end{pmatrix} \] \[ A+B=\begin{pmatrix}1+4&-2+5\\3+(-1)&0+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&3\\2&2\end{pmatrix} \]Ejemplo
\[ -2\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&4\\-6&0\end{pmatrix} \]Si \(A\) es \(m\times n\) y \(B\) es \(n\times p\), entonces \(AB\) existe y es \(m\times p\).
\[ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \]Ejemplo resuelto (paso a paso)
\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&5\\-1&2\end{pmatrix} \]La traspuesta \(A^T\) se obtiene intercambiando filas por columnas:
\[ (A^T)_{ij}=a_{ji} \]Ejemplo
\[ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \Rightarrow A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix} \]Ejemplo
\[ \det\begin{pmatrix}2&1\\-3&4\end{pmatrix}=2\cdot4-1\cdot(-3)=8+3=11 \]Ejemplo
\[ A=\begin{pmatrix} 1&2&0\\ -1&3&4\\ 2&1&-2 \end{pmatrix} \]Aplicando Sarrus se obtiene:
\[ \det(A)=2 \]Una matriz cuadrada \(A\) es invertible si existe \(A^{-1}\) tal que:
\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]Si \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) y \(ad-bc\neq0\), entonces:
\[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]Ejemplo resuelto
\[ A=\begin{pmatrix}2&1\\-3&4\end{pmatrix} \] \[ \det(A)=2\cdot4-1\cdot(-3)=11\neq0 \Rightarrow \text{tiene inversa} \] \[ A^{-1}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}4&-1\\3&2\end{pmatrix} \]Un sistema se puede escribir como:
\[ AX=B \]donde \(A\) es la matriz de coeficientes, \(X\) la columna de incógnitas y \(B\) los términos independientes.
Si \(A\) es invertible (\(\det(A)\neq0\)), entonces:
\[ X=A^{-1}B \]Ejemplo
\[ \begin{cases} 2x+y=5\\ -3x+4y=1 \end{cases} \] \[ \begin{pmatrix}2&1\\-3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\frac{1}{11}\begin{pmatrix}4&-1\\3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix}19\\17\end{pmatrix} \Rightarrow x=\frac{19}{11},\ y=\frac{17}{11} \]