📘 Matemáticas II – Operaciones con Matrices

Enfoque: comprensión estructural + preparación EBAU.

1️⃣ Concepto Formal de Matriz

Una matriz es una aplicación que organiza elementos de un cuerpo (normalmente $\mathbb{R}$) en forma rectangular.

$$ A = (a_{ij}) \in M_{m \times n}(\mathbb{R}) $$

donde:

$i$ indica la fila
$j$ indica la columna
$m$ es el número de filas
$n$ es el número de columnas

Idea clave:

Una matriz no es solo una tabla de números: representa una transformación lineal cuando es cuadrada.

2️⃣ Suma de Matrices

Definida solo si ambas matrices tienen la misma dimensión.

$$ (A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$

Propiedades importantes:

Conmutativa: $A+B = B+A$
Asociativa
Existe elemento neutro: matriz nula $0$

Ejemplo típico EBAU: $$ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} $$

3️⃣ Producto de Matrices

Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, entonces el producto existe y es $m \times p$.

$$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} $$

Muy importante:

El producto NO es conmutativo en general:

$$ AB \neq BA $$

Ejemplo: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} $$

Interpretación profunda:

Multiplicar matrices equivale a componer transformaciones lineales.

4️⃣ Determinante (Matriz 2x2 y 3x3)

Para una matriz $2 \times 2$:

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ $$ \det(A) = ad - bc $$

Para $3 \times 3$ (Regla de Sarrus):

$$ \det(A)= a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} $$

Interpretación geométrica:

El determinante mide el factor de escala del volumen (o área en 2D).

5️⃣ Matriz Inversa

Una matriz cuadrada $A$ es invertible si:

$$ \det(A) \neq 0 $$

Y existe $A^{-1}$ tal que:

$$ A A^{-1} = I $$

Para $2 \times 2$:

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Clave EBAU:

Si $\det(A)=0$ → sistema compatible indeterminado o incompatible.

6️⃣ Sistemas de Ecuaciones y Método de Gauss

Un sistema lineal puede escribirse como:

$$ AX = B $$

Se resuelve mediante:

Método de Gauss
Regla de Cramer (si $\det(A) \neq 0$)
Inversa (si existe)

Idea conceptual:

Resolver un sistema es encontrar el vector $X$ que al aplicarle la transformación $A$ produce $B$.

7️⃣ Conexión con Selectividad

En EBAU suelen preguntar:

Calcular determinantes
Estudiar compatibilidad de sistemas
Encontrar matriz inversa
Discutir parámetros

Consejo de profesor: No memorices algoritmos sin entender qué significan. Entiende que el determinante te dice si la transformación "aplana" el espacio.