Curso: 1º Bachillerato (España)
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente.
$$ a^{f(x)} = b $$Ejemplos:
Idea clave: Para resolverlas debemos “bajar” el exponente.
Si ambos miembros pueden escribirse con la misma base, se igualan los exponentes.
Ejemplo:
$$ 2^{x+1} = 8 $$Observamos que:
$$ 8 = 2^3 $$Entonces:
$$ 2^{x+1} = 2^3 $$Como las bases son iguales:
$$ x+1 = 3 $$Resolviendo:
$$ x = 2 $$Este método es el más sencillo y el preferido en exámenes.
Si no podemos expresar ambos lados con la misma base, usamos logaritmos.
Ejemplo:
$$ 3^x = 7 $$Aplicamos logaritmo en ambos miembros:
$$ \log(3^x) = \log(7) $$Usamos la propiedad:
$$ \log(a^b) = b \log(a) $$Entonces:
$$ x \log(3) = \log(7) $$Despejamos:
$$ x = \frac{\log(7)}{\log(3)} $$Este resultado es exacto. Si se pide aproximación, se usa calculadora.
Estas propiedades son fundamentales para transformar ecuaciones.
Resolver una ecuación exponencial consiste en aplicar la operación inversa de la exponencial.
La función inversa de:
$$ f(x) = a^x $$es el logaritmo:
$$ f^{-1}(x) = \log_a(x) $$Por eso los logaritmos permiten resolver ecuaciones exponenciales.
Intenta resolverlos usando ambos métodos cuando sea posible.