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Muestreo. Distribuciones muestrales
002 Este es el titular de un periódico:
«la alTura MEDia DE loS ESPaÑolES ES 167 cm»
¿cómo se ha llegado a esta conclusión? ¿Se habrá estudiado a toda
la población?
No se habrá estudiado a toda la población, sino que se habrá hecho un estudio
estadístico sobre una muestra, y el titular del periódico extrapola los resultados
de la muestra a toda la población.
003 inventa un estudio estadístico y especifica cuál es la población, la muestra
y el tamaño de la población y de la muestra.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
En un centro escolar se quiere realizar un estudio sobre las horas
semanales dedicadas a practicar deporte; para ello se elige
una muestra formada por 5 alumnos de cada clase, es decir, si el centro
tiene 750 alumnos repartidos en 30 aulas, el tamaño de la población
es 750 y el tamaño de la muestra es de 150.
004 Decide si estos procesos pueden ser muestreos aleatorios.
a) En un iES de 190 alumnos y 210 alumnas se extrae una muestra formada
por 20 alumnos y 20 alumnas.
b) Se realiza una encuesta a los jóvenes de una ciudad mediante un enlace
en una página web.
a) La probabilidad de escoger a los alumnos y las alumnas
en la población es:
Si el procedimiento fuera aleatorio, la proporción de alumnos y alumnas
en la muestra debería mantenerse.
En la muestra, la probabilidad es:
Este procedimiento no es un muestreo aleatorio.
b) Este procedimiento no es un muestreo aleatorio, pues la muestra estaría
formada solo por los jóvenes que accedieran a la página web.
005 ¿Podrías modificar el procedimiento para obtener las muestras anteriores
de modo que resultaran muestras aleatorias? Explica de forma razonada
cómo lo haces.
a) Si se extrae una muestra formada por 19 alumnos y 21 alumnas,
el procedimiento podría considerarse aleatorio ya que de este modo
la probabilidad de elegir un alumno o una alumna es la misma en la población
y en la muestra.
b) Se podría tomar el censo de la ciudad y, entre los jóvenes que aparecen
en él, elegir al azar el número de ellos para formar la muestra.
ANTES DE COMENZAR... RECUERDA
001 Halla la media aritmética de estos datos.
a) 42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
b) 16 20 26 23 22 13 21 18
16 19 14 17 11 17 15 26
a) x = 58 95 ,
b ) x = 18 375 ,
002 Halla la varianza y la desviación típica de los datos.
a) 42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
b) 16 20 26 23 22 13 21 18
16 19 14 17 11 17 15 26
a) σ σ 2 = = 92 05 , , 9 59
b) σ σ 2 = = 18 11 , , 4 26
003 Si P ( A) = 0,2; P ( B ) = 0,7 y P ( A ∩ B ) = 0,1; calcula:
a) P ( A ∪ B ) b) P ( A ∩ B ) c) P ( A − B ) d) P ( B − A )
a) P A( ) ∪ = B P ( ) A P + - ( ) B P ( ) A B ∩ = 0 8,
b) P A() () ∩ = B P 1 0 - ∪A B = ,2
c) P A( ) - = B P ( ) A P - ∩ ( ) A B = 0 1,
d) P B( ) - = A P 1 0 - ∪ ( ) A B = ,2
ACTIVIDADES
001 razona qué sería mejor, si analizar una muestra o la población para estudiar
las siguientes características.
a) Talla de pantalón de un grupo de amigos.
b) Temperatura de tu comunidad.
c) Peso medio de los habitantes de un país.
d) Dinero gastado a la semana por los miembros de tu familia.
e) color del pelo de tus compañeros de clase.
a) La población, porque el número de observaciones es muy reducido.
b) Una muestra, porque no podemos medir la temperatura de todos los puntos
de la Comunidad.
c) Una muestra, porque el número de habitantes es muy grande.
d) La población, porque el número de observaciones es muy reducido.
e) La población, porque el número de observaciones es muy reducido.
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Solucionario 11
002 Este es el titular de un periódico:
«la alTura MEDia DE loS ESPaÑolES ES 167 cm»
¿cómo se ha llegado a esta conclusión? ¿Se habrá estudiado a toda
la población?
No se habrá estudiado a toda la población, sino que se habrá hecho un estudio
estadístico sobre una muestra, y el titular del periódico extrapola los resultados
de la muestra a toda la población.
003 inventa un estudio estadístico y especifica cuál es la población, la muestra
y el tamaño de la población y de la muestra.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
En un centro escolar se quiere realizar un estudio sobre las horas
semanales dedicadas a practicar deporte; para ello se elige
una muestra formada por 5 alumnos de cada clase, es decir, si el centro
tiene 750 alumnos repartidos en 30 aulas, el tamaño de la población
es 750 y el tamaño de la muestra es de 150.
004 Decide si estos procesos pueden ser muestreos aleatorios.
a) En un iES de 190 alumnos y 210 alumnas se extrae una muestra formada
por 20 alumnos y 20 alumnas.
b) Se realiza una encuesta a los jóvenes de una ciudad mediante un enlace
en una página web.
a) La probabilidad de escoger a los alumnos y las alumnas
en la población es:
P ( ) alumno = = , 190
400
0 475 P ( ) alumna = = , 210
400
0 525
Si el procedimiento fuera aleatorio, la proporción de alumnos y alumnas
en la muestra debería mantenerse.
En la muestra, la probabilidad es:
P ( ) alumno = = , 20
40
0 5 P ( ) alumna = = , 20
40
0 5
Este procedimiento no es un muestreo aleatorio.
b) Este procedimiento no es un muestreo aleatorio, pues la muestra estaría
formada solo por los jóvenes que accedieran a la página web.
005 ¿Podrías modificar el procedimiento para obtener las muestras anteriores
de modo que resultaran muestras aleatorias? Explica de forma razonada
cómo lo haces.
a) Si se extrae una muestra formada por 19 alumnos y 21 alumnas,
el procedimiento podría considerarse aleatorio ya que de este modo
la probabilidad de elegir un alumno o una alumna es la misma en la población
y en la muestra.
b) Se podría tomar el censo de la ciudad y, entre los jóvenes que aparecen
en él, elegir al azar el número de ellos para formar la muestra.
ANTES DE COMENZAR... RECUERDA
Halla la media aritmética de estos datos.
a) 42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
b) 16 20 26 23 22 13 21 18
16 19 14 17 11 17 15 26
Halla la varianza y la desviación típica de los datos.
a) 42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
b) 16 20 26 23 22 13 21 18
16 19 14 17 11 17 15 26
a)
b)
Si P ( A) = 0,2; P ( B ) = 0,7 y P ( A ∩ B ) = 0,1; calcula:
a) P ( A ∪ B ) b) P ( A ∩ B ) c) P ( A − B ) d) P ( B − A )
ACTIVIDADES
razona qué sería mejor, si analizar una muestra o la población para estudiar
las siguientes características.
a) Talla de pantalón de un grupo de amigos.
b) Temperatura de tu comunidad.
c) Peso medio de los habitantes de un país.
d) Dinero gastado a la semana por los miembros de tu familia.
e) color del pelo de tus compañeros de clase.
a) La población, porque el número de observaciones es muy reducido.
b) Una muestra, porque no podemos medir la temperatura de todos los puntos
de la Comunidad.
c) Una muestra, porque el número de habitantes es muy grande.
d) La población, porque el número de observaciones es muy reducido.
e) La población, porque el número de observaciones es muy reducido.
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d) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación:
Elegimos al azar el número 28 (un número entre 1 y 39) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
28 + 39 = 67, 28 + 2 ⋅ 39 = 106, ..., 28 + 38 ⋅ 39 = 1.510
010 Di si esta muestra sistemática es representativa de los alumnos de un iES
para estudiar su peso; en caso negativo, propón una que sí lo sea:
Se ordenan los alumnos atendiendo a su altura y se elige al que ocupa el número 3
y, después, se hace cada 10 posiciones hasta completar la muestra.
La muestra no es representativa, ya que normalmente la altura está relacionada
con el peso; por tanto, para obtener una muestra que sea representativa, el orden
asignado a los alumnos debe ser independiente de la variable que se estudie;
por ejemplo, en este caso podríamos haber ordenado los alumnos por orden
alfabético de sus apellidos.
011 De una población de 280 hombres y 320 mujeres se desea seleccionar
una muestra estratificada, con afijación proporcional de tamaño 60, distribuida
en los dos estratos. ¿cuál será la composición de la muestra?
Elegimos los estratos de la población: hombres y mujeres.
Calculamos el número de elementos que debe tener cada muestra aleatoria
simple extraída de los estratos:
La muestra debe estar formada por 28 hombres y 32 mujeres.
012 Tenemos 1.133 yogures de tres marcas diferentes, y queremos hallar una muestra
estratificada con afijación igual de tamaño 81, para estudiar su contenido en grasas.
¿cómo lo harías?
Elegimos como estratos de la población los tres tipos de yogures según cada marca.
Tomamos una muestra aleatoria simple dentro de cada estrato
de tamaño: ; es decir, seleccionamos 27 yogures de cada marca.
013 un iES se compone de 4 clases de 1.o
de ESo, 4 de 2.o
de ESo, 4 de 3.o
de ESo
y 4 de 4.o
de ESo. En cada una de las 4 plantas que tiene el centro, hay una clase
de cada curso.
Di cómo se extrae una muestra estratificada y otra por conglomerados.
Para la muestra estratificada, segmentamos la población en estratos eligiendo
4 estratos formados por los alumnos de cada curso; de esta manera los estratos
son diferentes entre sí, los alumnos de 1.o
son diferentes de los de 2.o
, 3.o
o 4.o
,
y dentro de cada estrato los alumnos son más homogéneos, y el comportamiento
de los alumnos de un mismo curso es similar entre ellos.
006 Pon dos ejemplos de estudios donde no podamos extraer muestras aleatorias.
Respuesta abierta. Por ejemplo: Si un médico hace un estudio escogiendo
a los pacientes que acuden a su consulta en un determinado día,
o si un establecimiento lo hace eligiendo a los clientes que pagaron con tarjeta
de crédito en una franja horaria.
007 Dada la población {1, 3, 5, 7}, forma las muestras posibles de tamaño 2.
a) Sin reposición. b) con reposición.
a) Las muestras posibles son: { , 1 3}, { , 1 5}, { , 1 7}, { , 3 5}, { , 37 57 }, { , }
b) Las muestras posibles son:
{ , 1 1}, { , 1 3}, { , 1 5}, { , 1 7}, { , 3 3}, { , 3 5}, { , 3 7}, {5 5, }, {5 7, }, {7 7, }
008 Halla la población formada por las medias de todas las muestras
de tamaño 2 de {1, 3, 5, 7} y, después, calcula su media.
a) Sin reposición. b) con reposición.
a) La población formada por las medias es: { , 2 3,,, 4 4 5 6, }
Su media es: x = 4
b) La población formada por las medias es: { , 1 2,,, 3 3 4 4, , 5 5, , 6 7, }
Su media es: x = 4
009 En una granja avícola hay 2.350 gallinas ponedoras. Para estudiar el tamaño de los
huevos que ponen, di cómo extraerías muestras sistemáticas de los siguientes tamaños:
a) n = 25 b) n = 235 c) n = 50 d) n = 60
a) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación: h = = 2 350
25
94 .
Elegimos al azar el número 32 (un número entre 1 y 94) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
32 + 94 = 126, 32 + 2 ⋅ 94 = 220, ..., 32 + 24 ⋅ 94 = 2.288
b) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación: h = = 2 350
235
10 .
Elegimos al azar el número 4 (un número entre 1 y 10) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
4 + 10 = 14, 4 + 2 ⋅ 10 = 24, ..., 4 + 10 ⋅ 234 = 2.344
c) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación: h = = 2 350
50
47 .
Elegimos al azar el número 19 (un número entre 1 y 47) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
19 + 47 = 66, 19 + 2 ⋅ 47 = 113, ..., 19 + 46 ⋅ 47 = 2.181
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Solucionario 11
d) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación: h = = 2 350
60
39 .
Elegimos al azar el número 28 (un número entre 1 y 39) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
28 + 39 = 67, 28 + 2 ⋅ 39 = 106, ..., 28 + 38 ⋅ 39 = 1.510
010 Di si esta muestra sistemática es representativa de los alumnos de un iES
para estudiar su peso; en caso negativo, propón una que sí lo sea:
Se ordenan los alumnos atendiendo a su altura y se elige al que ocupa el número 3
y, después, se hace cada 10 posiciones hasta completar la muestra.
La muestra no es representativa, ya que normalmente la altura está relacionada
con el peso; por tanto, para obtener una muestra que sea representativa, el orden
asignado a los alumnos debe ser independiente de la variable que se estudie;
por ejemplo, en este caso podríamos haber ordenado los alumnos por orden
alfabético de sus apellidos.
011 De una población de 280 hombres y 320 mujeres se desea seleccionar
una muestra estratificada, con afijación proporcional de tamaño 60, distribuida
en los dos estratos. ¿cuál será la composición de la muestra?
Elegimos los estratos de la población: hombres y mujeres.
Calculamos el número de elementos que debe tener cada muestra aleatoria
simple extraída de los estratos:
n n n
n
1 2 1
280 320 2
60
600
28
32 = = =
=
→
La muestra debe estar formada por 28 hombres y 32 mujeres.
012 Tenemos 1.133 yogures de tres marcas diferentes, y queremos hallar una muestra
estratificada con afijación igual de tamaño 81, para estudiar su contenido en grasas.
¿cómo lo harías?
Elegimos como estratos de la población los tres tipos de yogures según cada marca.
Tomamos una muestra aleatoria simple dentro de cada estrato
de tamaño: 81
3 = 27; es decir, seleccionamos 27 yogures de cada marca.
013 un iES se compone de 4 clases de 1.o
de ESo, 4 de 2.o
de ESo, 4 de 3.o
de ESo
y 4 de 4.o
de ESo. En cada una de las 4 plantas que tiene el centro, hay una clase
de cada curso.
Di cómo se extrae una muestra estratificada y otra por conglomerados.
Para la muestra estratificada, segmentamos la población en estratos eligiendo
4 estratos formados por los alumnos de cada curso; de esta manera los estratos
son diferentes entre sí, los alumnos de 1.o
son diferentes de los de 2.o
, 3.o
o 4.o
,
y dentro de cada estrato los alumnos son más homogéneos, y el comportamiento
de los alumnos de un mismo curso es similar entre ellos.
Pon dos ejemplos de estudios donde no podamos extraer muestras aleatorias.
Respuesta abierta. Por ejemplo: Si un médico hace un estudio escogiendo
a los pacientes que acuden a su consulta en un determinado día,
o si un establecimiento lo hace eligiendo a los clientes que pagaron con tarjeta
de crédito en una franja horaria.
Dada la población {1, 3, 5, 7}, forma las muestras posibles de tamaño 2.
a) Sin reposición. b) con reposición.
a) Las muestras posibles son:
b) Las muestras posibles son:
Halla la población formada por las medias de todas las muestras
de tamaño 2 de {1, 3, 5, 7} y, después, calcula su media.
a) Sin reposición. b) con reposición.
a) La población formada por las medias es:
Su media es:
b) La población formada por las medias es:
Su media es:
En una granja avícola hay 2.350 gallinas ponedoras. Para estudiar el tamaño de los
huevos que ponen, di cómo extraerías muestras sistemáticas de los siguientes tamaños:
a) n = 25 b) n = 235 c) n = 50 d) n = 60
a) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación:
Elegimos al azar el número 32 (un número entre 1 y 94) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
32 + 94 = 126, 32 + 2 ⋅ 94 = 220, ..., 32 + 24 ⋅ 94 = 2.288
b) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación:
Elegimos al azar el número 4 (un número entre 1 y 10) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
4 + 10 = 14, 4 + 2 ⋅ 10 = 24, ..., 4 + 10 ⋅ 234 = 2.344
c) Asignamos de manera aleatoria un número a cada una de las 2.350 gallinas,
y calculamos la constante de elevación:
Elegimos al azar el número 19 (un número entre 1 y 47) y determinamos
la gallina con este número como el primer elemento de la muestra;
los siguientes elementos son las gallinas marcadas con los números:
19 + 47 = 66, 19 + 2 ⋅ 47 = 113, ..., 19 + 46 ⋅ 47 = 2.181
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Muestreo. Distribuciones muestrales
017 consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas
que obtengo, al sacar 3 veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolas blancas
y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente.
calcula la probabilidad de que obtenga 2 bolas blancas.
018 Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula:
a) la probabilidad de que alguna bola sea blanca.
b) la probabilidad de obtener todas las bolas de color rojo.
019 Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ = 2 y σ = 3.
a) x1 = 3 c) x3 = −0,5
b) x2 = 4,5 d) x4 = −1
020 compara los datos de estas distribuciones:
x1 = 1 (con μ = 1, σ = 2)
x2 = 2 (con μ = 2, σ = 1)
x3 = 1,5 (con μ = 1,5; σ = 1,5)
Para compararlos primero tipificamos:
Los datos representan el mismo valor, cada uno dentro de su distribución.
Para la muestra por conglomerados, segmentamos la población
en conglomerados eligiendo 4 conglomerados formados por los alumnos
de cada planta del instituto; de esta manera los conglomerados son muy parecidos
entre sí y, sin embargo, el comportamiento de los alumnos dentro de un mismo
conglomerado es muy diferente entre ellos.
014 Pon un ejemplo de situación en la que la muestra más conveniente se obtenga
mediante muestreo por conglomerados y otro en que se obtenga por muestreo
estratificado con afijación proporcional. Explica en qué se diferencian.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Aplicaríamos un muestreo por conglomerados si deseáramos conocer la opinión
de los profesores de una ciudad ante cierta medida educativa sobre la Enseñanza
Secundaria y el Bachillerato; cada IES se puede considerar un conglomerado
puesto que la opinión no diferirá mucho del resto de institutos y la variación
se presenta entre los distintos profesores del mismo instituto. Este sistema permite
recoger la información con facilidad visitando un número adecuado de centros
de enseñanza.
Aplicaríamos un muestreo estratificado con afijación proporcional si deseáramos
conocer la opinión de los profesores de una ciudad ante cierta medida educativa
sobre la Enseñanza Secundaria y el Bachillerato, diferenciando entre los distintos tipos
de enseñanza: privada, pública y concertada. Cada tipo de enseñanza segmentaría
la población en estratos que, a priori, deberían ser muy diferentes entre sí.
La diferencia entre ambos tipos de muestreo es que, mientras que los estratos
son diferentes entre ellos, los individuos de un mismo estrato son muy parecidos;
en el caso de los conglomerados sucede al revés, son muy parecidos a otros
conglomerados y, sin embargo, los individuos dentro de cada conglomerado
son muy heterogéneos.
015 comprueba si la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale un 3,
al lanzar 5 veces un dado de 6 caras, sigue una distribución binomial.
La variable es discreta, pues solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
El número de veces que se realiza el experimento es: n = 5
El suceso que estudiamos es: A = «Salir un 3»
Cada lanzamiento del dado es independiente y la probabilidad de A es:
1
6
Por tanto, la variable sigue una distribución binomial B 3 1
6
,
.
016 calcula la probabilidad de que la variable aleatoria, X, que cuenta el número de veces
que sale un 3 en 5 tiradas de un dado, sea mayor o igual que 3.
X B ; 5 1
6
,
PX PX PX PX ( ) ≥ = ( ) = + ( ) = + ( ) = =
=
3 3 4 5
5
3
1
6
5
6
5
4
3 2
⋅
+
⋅
+
1
6
5
6
5
5
4
⋅
=
= +
1
6
5
6
0 0322 0
5 0
, , , 0032 + = 0 0001 0,0355
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Muestreo. Distribuciones muestrales
591
Solucionario 11
017 consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas
que obtengo, al sacar 3 veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolas blancas
y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente.
calcula la probabilidad de que obtenga 2 bolas blancas.
X B ; 3 2
5
,
P X( ) = = ,
2 ⋅ = 3
2
2
5
3
5
0 28
2
8
018 Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula:
a) la probabilidad de que alguna bola sea blanca.
b) la probabilidad de obtener todas las bolas de color rojo.
a) PX PX ( ) > = - = ( ) = -
01 01
3
0
2
5
⋅
=
0 3
3
5
0,784
b) P X( ) = =
⋅
0
3
0
2
5
3
5
0
=
3
0,216
019 Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ = 2 y σ = 3.
a) x1 = 3 c) x3 = −0,5
b) x2 = 4,5 d) x4 = −1
a
Tipificar ) , 3 3 2
3
→ 0 33 - =
b Tipificar ) , , 4 5 , 4 5 2
3
→ 0 83 - =
c Tipificar ) , , - , - - 0 5 = - 0 5 2
3
→ 0 83
d Tipificar ) - - - 1 = - 1 2
3
→ 1
020 compara los datos de estas distribuciones:
x1 = 1 (con μ = 1, σ = 2)
x2 = 2 (con μ = 2, σ = 1)
x3 = 1,5 (con μ = 1,5; σ = 1,5)
Para compararlos primero tipificamos:
1 1 1
2
→ 0 Tipificar - =
2 2 2
1
→ 0 Tipificar - =
1 5 15 15
1 5 , 0 , ,
, →
Tipificar - =
Los datos representan el mismo valor, cada uno dentro de su distribución.
Para la muestra por conglomerados, segmentamos la población
en conglomerados eligiendo 4 conglomerados formados por los alumnos
de cada planta del instituto; de esta manera los conglomerados son muy parecidos
entre sí y, sin embargo, el comportamiento de los alumnos dentro de un mismo
conglomerado es muy diferente entre ellos.
Pon un ejemplo de situación en la que la muestra más conveniente se obtenga
mediante muestreo por conglomerados y otro en que se obtenga por muestreo
estratificado con afijación proporcional. Explica en qué se diferencian.
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Aplicaríamos un muestreo por conglomerados si deseáramos conocer la opinión
de los profesores de una ciudad ante cierta medida educativa sobre la Enseñanza
Secundaria y el Bachillerato; cada IES se puede considerar un conglomerado
puesto que la opinión no diferirá mucho del resto de institutos y la variación
se presenta entre los distintos profesores del mismo instituto. Este sistema permite
recoger la información con facilidad visitando un número adecuado de centros
de enseñanza.
Aplicaríamos un muestreo estratificado con afijación proporcional si deseáramos
conocer la opinión de los profesores de una ciudad ante cierta medida educativa
sobre la Enseñanza Secundaria y el Bachillerato, diferenciando entre los distintos tipos
de enseñanza: privada, pública y concertada. Cada tipo de enseñanza segmentaría
la población en estratos que, a priori, deberían ser muy diferentes entre sí.
La diferencia entre ambos tipos de muestreo es que, mientras que los estratos
son diferentes entre ellos, los individuos de un mismo estrato son muy parecidos;
en el caso de los conglomerados sucede al revés, son muy parecidos a otros
conglomerados y, sin embargo, los individuos dentro de cada conglomerado
son muy heterogéneos.
comprueba si la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale un 3,
al lanzar 5 veces un dado de 6 caras, sigue una distribución binomial.
La variable es discreta, pues solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
El número de veces que se realiza el experimento es: n = 5
El suceso que estudiamos es: A = «Salir un 3»
Cada lanzamiento del dado es independiente y la probabilidad de A es:
Por tanto, la variable sigue una distribución binomial .
calcula la probabilidad de que la variable aleatoria, X, que cuenta el número de veces
que sale un 3 en 5 tiradas de un dado, sea mayor o igual que 3.
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Muestreo. Distribuciones muestrales
El intervalo característico es: (22 - 9,8; 22 + 9,8) = (12,2; 31,8)
El intervalo característico es: (22 - 12,9; 22 + 12,9) = (9,1; 34,9)
024 En una distribución normal N(μ, σ) sabemos que el intervalo característico
de probabilidad 0,95 es (340, 430). Halla la media y la desviación
típica de esta distribución normal.
Si (340, 430) es el intervalo característico, entonces la media
de la distribución es:
Como :
025 una fábrica de ordenadores elabora 2.500 circuitos electrónicos al día.
Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del 2 %,
¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos
sea mayor que 50? ¿Y menor que 25?
La variable aleatoria sigue una distribución binomial:
Comprobamos si se puede aproximar por una distribución normal:
021 Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X ; N (2, 2), calcula
las siguientes probabilidades.
a) P (X < 3) c) P ( X = 4) e) P( X < 5)
b) P ( X > 1) d) P ( X = 6) f) P ( X = 8)
a) P X( ) P ( , ) , X
< = P Z - <
-
3 = < = 2
2
3 2
2
0 5 0 6915
b) P X( ) P ( , ) ( X
> = P Z P - >
-
1 = > - = 2
2
1 2
2
0 5 Z ≤ = 0 5, ) 0,6915
c) P X( ) = = 4 0
d) P X( ) = = 6 0
e) P X( ) P ( , ) , X
< = P Z - <
-
5 = < = 2
2
5 2
2
1 5 0 9332
f ) P X( ) = = 8 0
022 una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media μ y desviación
típica σ. Sabemos que los cuartiles de la distribución son 10 y 20, respectivamente.
¿cuánto valen la media μ y la desviación típica σ?
Si Q P 1 = < 10 10 → ( ) X = 0 2, 5
Si Q P 3 = < 20 20 → ( ) X = 0 7, 5
Entonces, resulta que:
P X P Z - <
-
= <
-
μ
σ
μ
σ
μ
σ
10 10
= - - =
- <
-
=
0 25 10 0 68
20
, , → μ
σ
μ
σ
μ
σ P X P Z <
-
= - = 20 0 75 20 0 68 μ
σ
μ
σ , , →
Resolvemos:
μ σ
μ σ
- = μ
+ =
0 68 10 =
0 68 20
, 15
, → σ =
7 35,
023 Dada una distribución normal N (22, 5), calcula los intervalos característicos
que tienen las siguientes probabilidades.
a) p = 0,9 b) p = 0,95 c) p = 0,99
a) 0 9, ( 22 22 ) 22 22
5
22
5
22 2 = - < < + = - - < - < + - P k X k P k X k 2
5
5 5 5
=
= - < <
= <
P k Z k P Z k
- >
-
=
= <
P Z k
P Z k
5
2
5
- <
1 = = = 5
0 95
5
→ → P Z 1 645 → 8 k k , , k ,225
El intervalo característico es: (22 - 8,225; 22 + 8,225) = (13,775; 30,225)
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Muestreo. Distribuciones muestrales
593
Solucionario 11
b) 0 9, ( 5 22 22 ) 22 22
5
22
5
22 = - < < + = - - < - < + - P k X k P k X k 22
5
5 5 5
=
= - < <
P = <
k Z k P Z
k
- >
-
=
= <
P Z k
P Z k
5
2
5
- <
1 = = = 5
0 975
5
→ → P Z 1 96 →
k k , , k 9 8,
El intervalo característico es: (22 - 9,8; 22 + 9,8) = (12,2; 31,8)
c) 0 9, ( 9 22 22 ) 22 22
5
22
5
22 = - < < + = - - < - < + - P k X k P k X k 22
5
5 5 5
=
= - < <
P = <
k Z k P Z
k
- >
-
=
= <
P Z k
P Z k
5
2
5
- <
1 = = = 5
0 995
5
→ → P Z 2 58 →
k k , , k 12 9,
El intervalo característico es: (22 - 12,9; 22 + 12,9) = (9,1; 34,9)
024 En una distribución normal N(μ, σ) sabemos que el intervalo característico
de probabilidad 0,95 es (340, 430). Halla la media y la desviación
típica de esta distribución normal.
Si (340, 430) es el intervalo característico, entonces la media
de la distribución es:
μ =
+ = 340 430
2
385
Como 0 9, ( 5 = < P X 340 430 < ) :
0 95 340 385 385 430 385 , = - < - <
-
=
=
P X
σ σ σ
P Z P Z - < <
= <
- 45 45 2 45
σ σ σ 1
→ → P Z < →
= = = 45 0 975 45 1 96 22 96 σ σ , , σ ,
025 una fábrica de ordenadores elabora 2.500 circuitos electrónicos al día.
Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del 2 %,
¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos
sea mayor que 50? ¿Y menor que 25?
La variable aleatoria sigue una distribución binomial:
X B ; ( .500; , 0 02)2
Comprobamos si se puede aproximar por una distribución normal:
np = > 50 5 n p ( ) 1 2 - = .450 > 5
Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X ; N (2, 2), calcula
las siguientes probabilidades.
a) P (X < 3) c) P ( X = 4) e) P( X < 5)
b) P ( X > 1) d) P ( X = 6) f) P ( X = 8)
una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media μ y desviación
típica σ. Sabemos que los cuartiles de la distribución son 10 y 20, respectivamente.
¿cuánto valen la media μ y la desviación típica σ?
Entonces, resulta que:
Dada una distribución normal N (22, 5), calcula los intervalos característicos
que tienen las siguientes probabilidades.
a) p = 0,9 b) p = 0,95 c) p = 0,99
a) 0 9, ( 22 22 ) 22 22
5
22
5
22 2 = - < < + = - - < - < + - P k X k P k X k 2
5
5 5 5
=
= - < <
= <
P k Z k P Z k
- >
-
=
= <
P Z k
P Z k
5
2
5
- <
1 = = = 5
0 95
5
→ → P Z 1 645 → 8 k k , , k ,225
El intervalo característico es: (22 - 8,225; 22 + 8,225) = (13,775; 30,225)
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