Cuadrado mágico. ¿Sabías que....?

1. Características

Un cuadrado mágico es una tabla compuesta por celdas con igual número de filas y columnas. En cada celda se coloca un número entero, generalmente natural, de tal manera que la suma de los números de cada fila, de cada columna, y de sus diagonales, tiene un mismo valor, a ese valor le llamamos suma mágica o constante mágica = S.

Al número de filas = número de columnas le llamamos orden del cuadrado.

Solamente existen ocho cuadrados mágicos de orden 3, es decir con 3 filas y 3 columnas, y con números naturales sucesivos del 1 al 9, y donde S = 15.

Existen 880 cuadrados mágicos distintos de orden 4, más de 13000000 de cuadrados mágicos distintos de orden 5 y más de 6 billones y medio de cuadrados mágicos distintos de orden 8.

Para hallar S a partir de cuadrados mágicos con grado n y con números naturales sucesivos del 1 al n·n, se emplea la siguiente fórmula:

S=1/2·n(n²+1)

PROPIEDADES:

• Se puede aumentar o disminuir un mismo valor a cada uno de sus elementos, y permanecerá mágico.
• Se puede multiplicar por un mismo número a cada uno de sus elementos, y permanecerá mágico.
• Se pueden sumar o restar los elementos correspondientes de dos cuadrados mágicos, y el cuadrado obtenido será mágico.
• Se pueden originar uno o más cuadrados mágicos por la rotación o reflexión de un cuadrado mágico inicial.

2. Construcción

Existen varias formas o métodos para crear cuadrados mágicos con diferentes grados de complejidad. Ahora veremos varios ejemplos de construir cuadrados de ordenes pequeños

2.1. Creación de cuadrados mágicos de orden 3

Primero vamos a construir un cuadrado mágico con números enteros sucesivos del 1 al 9.

• Se coloca en el centro del cuadrado, el número central: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• Se colocan los números más próximos al central en una diagonal del cuadrado. Existen cuatro opciones, dos por cada diagonal. Se toma cualquier opción, por ejemplo:

• Añadimos el número que precede al menor ( el número que precede al 4 será el 3) en una casilla adyacente:

• Añadimos los números corespondientes, tomando en cuenta que S=15. Por ejemplo, añadimos el número 8:

EJERCICIO: Hacer un cuadrado mágico de orden 3, en base a una serie de número consecutivos del 7 al 15, es decir:

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

2.2. Creación cuadrados mágicos de orden 4

Ahora vamos a construir un cuadrado mágico con 4 filas y 4 columnas, y lo vamos a construir con números del 1 al 16, la suma S=34.

• Vamos a colocar en las casillas del cuadrado los números del 1 al 16 y construir una tabla igual pero con las casillas vacías.

• En la tabla que está sin números vamos a llenar las celdas con los números de las dos diagonales principales:

• Los números de las casillas centrales inferiores se llevan a sus opuestos de la fila superior, intercambiando sus posiciones, y recíprocamente lo mismo de arriba hacia abajo:

• De igual forma se hace el intercambio de números de las filas centrales:

EJERCICIOS:

1. Hallar un cuadrado mágico de orden 4, con los números pares comprendidos entre 2 y 32. ¿Cuánto vale S?
2. Hallar un cuadrado mágico de orden 4, con los números  sucesivos del 3 al 18. ¿Cuánto vale S?

2.3. Creación de cuadrados mágicos de orden 5

Vamos a construir un cuadrado mágico con 5 filas y 5 columnas, es decir que tenga 5·5 = 25 celdas y cuya suma S = 65.

• Construímos el cuadrado vacío y añadimos tres celdas a cada lado del cuadrado. En la parte externa de ada uno de los cuatro lados del cuadrado se construye una pirámide que tenga de base 3 casillas, igual que en la figura:

• Ahora llenamos las cinco diagonales de la figura anterior con los números del 1 al 25:

• Los números externos de cada lado se llevan a las celdas vacías opuestas y dentro del cuadrado. En la siguiente figura los números superiores - 5 - 4 - 10 - se llevan a las casillas señaladas con el asterisco, y de la misma manera se trasladan los números de los otros tres lados:

• Ahora ya tenemos nuestro cuadrado mágico de orden 5, con números del 1 al 25 y con S=65:

De igual manera podemos construir cuadrados mágicos de orden impar, como 7, 9, 11, 13, 15, etc.

EJERCICIOS:

1. Construye un cuadrado mágico de orden 7.
2. Construye un cuadrado mágico de orden 9.
3. Construye un cuadrado mágico de orden 11.