Ecuaciones de segundo grado

¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado?

icono_definicion DEFINICIÓN Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica en la que, después de ser reducida, el mayor de los grados de los monomios que aparecen es dos. Cualquier ecuación de este tipo se puede expresar de la siguiente forma:

con , y números reales y .

Usaremos como ejemplo una ecuación que apareció cuando mientras resolvíamos ecuaciones de primer grado:

eq2_p4_c1b

Una vez reducida la ecuación nos quedan tres términos que no podemos juntar, pues no son monomios semejantes. La estrategia que usábamos para ecuaciones de grado 1 no sirve, pero podemos hacer lo siguiente:

PASO	ESTADO DE LA ECUACIÓN
Pasamos todos los términos al mismo miembro.
Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por para conseguir que el término de grado sea positivo (OPCIONAL).
Multiplicamos ambos miembros por .
Sumamos a ambos miembros.
Deshacemos la identidad notable y pasamos el restando al segundo miembro.
Calculamos la raíz cuadrada de ambos miembros. CUIDADO: El exponente del primer miembro y la raíz se anulan. El que aparece es debido a que hay dos posibles raíces cuadradas, la positiva y la negativa.
Pasamos el sumando al segundo miembro.
Pasamos el dividiendo al segundo miembro.
Calculamos las dos soluciones.

Como puedes ver, resolver ecuaciones de segundo grado "a pelo" es un proceso largo y poco intuitivo. La clave está en conseguir una una identidad notable para poder eliminar el exponente de la y despejar después con comodidad.

¿Crees que merece la pena repetir un proceso parecido al anterior cada vez que queramos resolver una ecuación de segundo grado? Lo cierto es que no. Lo que haremos será utilizar el lenguaje algebraico para convertir los pasos anteriores en una fórmula que sirva para cualquier ecuación de grado 2. ¿Ves cuantos quebraderos de cabeza te puede ahorrar el álgebra?

Considera una ecuación de segundo grado cualquiera, escrita en la forma .

PASO	ESTADO DE LA ECUACIÓN
Multiplicamos ambos miembros por .
Sumamos a ambos miembros.
Deshacemos la identidad notable y pasamos restando al segundo miembro.
Calculamos la raíz cuadrada de ambos miembros. CUIDADO: El exponente del primer miembro y la raíz se anulan. El que aparece es debido a que hay dos posibles raíces cuadradas, la positiva y la negativa.
Pasamos restando al segundo miembro.
Pasamos dividiendo al segundo miembro.

De ahora en adelante no tendremos que preocuparnos por encontrar identidades notables, aplicaremos directamente la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado.

icono_observacion OBSERVACIÓN No es necesario que sepas de dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, pero sí es muy importante que la memorices. Los pasos anteriores aparecen sólo para que veas que no sale de la nada.

icono_algoritmo ALGORITMO Para resolver una ecuación de segundo grado:

Reducimos la ecuación hasta que tenga la forma .

Aplicamos la fórmula .

Fíjate en los siguientes ejemplos:

ECUACIÓN 1

ECUACIÓN 2

ECUACIÓN 3

Primer paso: Reducimos la ecuación.

eq_g2_1b

Segundo paso: Identificamos , y y aplicamos la fórmula.

eq_g2_1c

Primer paso: Reducimos la ecuación.

eq_g2_2b

Segundo paso: Identificamos , y y aplicamos la fórmula.

eq_g2_2c

Primer paso: Reducimos la ecuación.

eq_g2_3b

Segundo paso: Identificamos , y y aplicamos la fórmula.

eq_g2_1c

No tiene solución.

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado?

En la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado aparece una raíz cuadrada. El número de soluciones depende del signo del radicando.

ALGORITMO Dada una ecuación de segundo grado, , con , y números reales y , dicha ecuación puede tener:

Dos soluciones, si .

Una solución, si .

Ninguna solución, si .

suele recibir el nombre de discriminante.

En los ejemplos anteriores puedes ver cada una de las tres situaciones.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

La fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado es muy útil, pero no siempre es necesaria. Existen ecuaciones de grado 2 con las que compensa seguir otra estrategia. Son aquellas en las que no aparece término de grado 1 o término independiente.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO SIN TÉRMINO DE GRADO 1

Podemos despejar la incógnita y calcular una raíz cuadrada. Fíjate en los ejemplos: