Combinatoria: El arte de contar
Aprende a organizar, seleccionar y contar posibilidades de forma eficiente. La base de la probabilidad y la estadística moderna.
1. Las tres preguntas clave
Para resolver cualquier problema de combinatoria, no memorices fórmulas; hazte estas tres preguntas en orden:
1. ¿Influye el orden?
¿Es lo mismo el resultado {A, B} que {B, A}? Si la respuesta es SÍ, estamos ante Variaciones o Permutaciones. Si es NO, son Combinaciones.
2. ¿Intervienen todos los elementos?
Si tengo 10 objetos, ¿los uso todos a la vez? Si es SÍ, es una Permutación.
3. ¿Se pueden repetir?
¿Puedo elegir el mismo elemento más de una vez? (Ej: Una contraseña numérica vs. personas en un podio).
2. Herramientas Fundamentales
El producto de un número por todos sus anteriores hasta el 1.
Ejemplo: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Si un evento ocurre de n formas y otro de m, ambos ocurren de n · m formas.
Ejemplo: 3 pantalones y 4 camisetas = 12 combinaciones.
3. Tipos de Agrupaciones
| Modelo | ¿Orden? | ¿Todos? | ¿Repetición? | Fórmula |
|---|---|---|---|---|
| Permutaciones | Sí | Sí | No | Pn = n! |
| Variaciones | Sí | No | No | Vn,k = n! / (n-k)! |
| Combinaciones | No | - | No | Cn,k = n! / (k! · (n-k)!) |
4. Esquema Visual Interactivo
Utiliza este mapa conceptual para navegar por los conceptos y decisiones del tema:
5. Ejemplo Competencial
El sorteo de la rifa escolar
En una clase de 20 alumnos se sortean 3 premios distintos (una tablet, un libro y una mochila). ¿De cuántas formas se pueden repartir?
- ¿Orden? Sí, los premios son distintos. No es lo mismo ganar la tablet que la mochila.
- ¿Todos? No, solo 3 de los 20 alumnos reciben premio.
- ¿Repetición? No, un alumno no se lleva dos premios.
Solución: Variaciones de 20 elementos tomados de 3 en 3.