# Tangencias exteriores comunes a dos circunferencias ## Definición Dos circunferencias admiten **tangentes exteriores comunes** cuando una misma recta es tangente a ambas y las toca por su parte exterior, sin cortar el segmento que une sus centros. En el caso general, si las circunferencias están separadas, existen **dos tangentes exteriores comunes**. ## Datos del problema Se consideran dos circunferencias: - Circunferencia `c1`, de centro `O1` y radio `R`. - Circunferencia `c2`, de centro `O2` y radio `r`. Supondremos que `R > r`. ## Fundamento geométrico La construcción se basa en transformar el problema de hallar una tangente común a dos circunferencias en otro más sencillo: trazar tangentes desde un punto exterior a una circunferencia. Para ello, se sustituye el sistema original por una **circunferencia auxiliar** de centro `O1` y radio: `R - r` De este modo, las tangentes trazadas desde `O2` a esa circunferencia auxiliar tienen la misma dirección que las tangentes exteriores comunes buscadas. ## Construcción paso a paso ### 1. Unión de centros Se une el centro `O1` de la circunferencia mayor con el centro `O2` de la menor. La recta `O1O2` será la base de la construcción. ### 2. Circunferencia auxiliar Con centro en `O1`, se traza una circunferencia auxiliar de radio `R - r`. Esta circunferencia permite reducir el problema original a la construcción de tangentes desde un punto exterior. ### 3. Construcción de las tangentes desde `O2` Para obtener las tangentes desde el punto exterior `O2` a la circunferencia auxiliar, se procede así: 1. Se une `O1` con `O2`. 2. Se determina el punto medio del segmento `O1O2`. 3. Con ese punto medio como centro, se dibuja la circunferencia de diámetro `O1O2`. Esta circunferencia cortará a la auxiliar en dos puntos, que llamaremos `T1` y `T2`. Las rectas `O2T1` y `O2T2` son tangentes a la circunferencia auxiliar, ya que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto y, por tanto, los radios `O1T1` y `O1T2` son perpendiculares a dichas rectas. ### 4. Obtención de las tangentes exteriores definitivas Las rectas `O2T1` y `O2T2` solo proporcionan la **dirección** de las tangentes exteriores comunes. Para obtener las tangentes reales a las dos circunferencias dadas, hay que desplazar cada una de esas direcciones una distancia igual a `r`. Para ello: 1. Por `O2`, se traza una perpendicular a la dirección `O2T1`. 2. Sobre esa perpendicular, se lleva una distancia igual al radio `r`. 3. Por el punto obtenido se dibuja una paralela a `O2T1`. La recta resultante es una de las tangentes exteriores comunes. Repitiendo el mismo proceso con la dirección `O2T2`, se obtiene la segunda tangente exterior común. ### 5. Determinación de los puntos de tangencia Una vez trazadas las tangentes definitivas, los puntos de tangencia se obtienen trazando desde cada centro una perpendicular a la tangente correspondiente. El pie de cada perpendicular sobre la recta tangente es el punto exacto de tangencia. ## Justificación del método Si a la circunferencia mayor se le resta el radio de la menor, se obtiene una circunferencia auxiliar tal que las tangentes trazadas desde `O2` tienen la misma inclinación que las tangentes exteriores comunes del problema original. Posteriormente, al desplazar dichas rectas una distancia `r`, se recupera la posición real en la que la recta es tangente a ambas circunferencias. ## Resumen del procedimiento 1. Unir los centros `O1` y `O2`. 2. Trazar con centro en `O1` una circunferencia auxiliar de radio `R - r`. 3. Construir desde `O2` las tangentes a esa circunferencia auxiliar. 4. Trazar paralelas a esas direcciones a una distancia `r`. 5. Obtener los puntos de tangencia mediante radios perpendiculares. ## Casos particulares - Si las circunferencias son secantes, este procedimiento no proporciona tangentes exteriores comunes. - Si las circunferencias son tangentes exteriormente, las soluciones quedan en posición límite. - Si ambas tienen igual radio, las tangentes exteriores comunes son paralelas a la recta que une los centros. ## Recomendaciones para el trazado - Diferencia claramente entre líneas auxiliares y solución final. - Marca siempre los centros, radios y puntos de tangencia. - Comprueba que cada radio trazado al punto de contacto sea perpendicular a la tangente. - Revisa que la tangente no corte ninguna de las circunferencias. ## Idea clave para recordar El problema se resuelve en dos fases: 1. Transformar el sistema de dos circunferencias en una circunferencia auxiliar y un punto exterior. 2. Recuperar la tangente real mediante una paralela situada a distancia igual al radio de la circunferencia menor.