Dibujo técnico · 2.º de Bachillerato

Tangencias exteriores comunes a dos circunferencias

Construcción basada en una circunferencia auxiliar de radio R - r, con esquemas fijos y un gráfico interactivo final.

Idea clave: tangentes desde un punto exterior

Definición y planteamiento

Dos circunferencias admiten tangentes exteriores comunes cuando una misma recta es tangente a ambas y las toca por su parte exterior. En el caso general, si las circunferencias están separadas o si una no contiene a la otra, aparecen dos soluciones.

Supondremos que la primera circunferencia tiene centro O1 y radio R, y la segunda tiene centro O2 y radio r, cumpliéndose que R > r.

Qué conviene recordar La dirección de las tangentes definitivas se obtiene primero sobre una circunferencia auxiliar. Después, esa dirección se desplaza una distancia igual al radio menor.

Datos del problema

  • Centros conocidos: O1 y O2.
  • Radios conocidos: R y r.
  • Hipótesis de trabajo: R > r.
  • Construcción auxiliar: circunferencia de centro O1 y radio R - r.

Justificación del método

Al sustituir el sistema inicial por la circunferencia auxiliar, las tangentes trazadas desde O2 conservan la misma inclinación que las tangentes exteriores comunes del problema original. Después, al trasladar esas direcciones una distancia r, se recupera la posición exacta de las tangentes reales.

Construcción visual paso a paso

Esta sección resume visualmente las tres fases esenciales del procedimiento. Cada esquema aparece en un bloque desplegable para poder consultarlo a mayor tamaño y con más comodidad.

Esquema 1. Centros y circunferencia auxiliar

Se unen los centros y se traza la circunferencia auxiliar con radio R - r.

Esquema con las dos circunferencias, la unión de centros y la circunferencia auxiliar
Esquema 2. Obtención de las direcciones tangentes

La circunferencia de diámetro O1O2 permite localizar los puntos T1 y T2, a partir de los cuales se trazan las tangentes a la auxiliar.

Esquema de la obtención de las tangentes desde el centro O2 hacia la circunferencia auxiliar
Esquema 3. Tangencias exteriores definitivas

Las rectas finales son tangentes exteriores comunes y los radios a los puntos de contacto son perpendiculares a cada tangente.

Esquema final con las tangentes exteriores definitivas a ambas circunferencias

Construcción paso a paso

Si prefieres estudiar el procedimiento completo ordenado por fases, despliega el bloque siguiente.

Desplegar construcción paso a paso

1Unión de centros

Se une el centro O1 de la circunferencia mayor con el centro O2 de la menor. La recta O1O2 será la base de toda la construcción.

2Circunferencia auxiliar

Con centro en O1 se dibuja una circunferencia auxiliar de radio R - r. Esta circunferencia reduce el problema a la construcción de tangentes desde un punto exterior.

3Tangentes desde O2 a la auxiliar

Se determina el punto medio del segmento O1O2 y, con él como centro, se traza la circunferencia de diámetro O1O2. Esta corta a la auxiliar en dos puntos, T1 y T2.

Las rectas O2T1 y O2T2 son tangentes a la circunferencia auxiliar porque el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

4Obtención de las tangentes exteriores definitivas

Las rectas anteriores solo proporcionan la dirección. Para obtener las tangentes reales, se trazan paralelas a esas direcciones a una distancia igual al radio menor r.

El resultado son las dos tangentes exteriores comunes a las circunferencias dadas.

5Puntos de tangencia

Los puntos de tangencia exactos se localizan trazando, desde cada centro, una perpendicular a la tangente correspondiente. El pie de cada perpendicular es el punto de contacto.

Resumen del procedimiento

  1. Unir los centros O1 y O2.
  2. Trazar la circunferencia auxiliar de radio R - r.
  3. Construir desde O2 las tangentes a esa auxiliar.
  4. Trazar paralelas a distancia r.
  5. Marcar los puntos de tangencia mediante radios perpendiculares.

Casos particulares

  • Si una circunferencia queda contenida en la otra sin tocarla, no existen tangentes exteriores comunes.
  • Si son tangentes exteriormente, las soluciones quedan en posición límite.
  • Si ambas tienen igual radio, las tangentes exteriores comunes son paralelas a la recta de centros.

Conviene distinguir claramente entre líneas auxiliares y solución final, y comprobar siempre que el radio en el punto de contacto es perpendicular a la tangente.

Gráfico interactivo final

Modifica los radios y la distancia entre centros para observar cómo cambia la construcción. Puedes activar o desactivar las ayudas geométricas para ver con claridad el papel de la circunferencia auxiliar.

La construcción es válida: se pueden trazar dos tangentes exteriores comunes.
Construcción interactiva de tangencias exteriores Diagrama dinámico con dos circunferencias, sus tangentes exteriores comunes y las líneas auxiliares del método.
Circunferencia mayor Circunferencia menor Tangentes exteriores Auxiliares y radios